这种不定积分公式推导起来相当烧脑，不过也很锻炼脑力

投稿用户 • 2023年2月17日 pm6:49 • 自媒体 • 阅读 327

老黄已经推导了很多不定积分的复杂公式了。这次要推导的是正切或余切的正整数幂的不定积分公式。教材只有递推公式，并没有提供公式的最终形态。

以正切的正整数幂为例，它的不定积分递推公式相当简单，就是

In=1/(n-1) *(tanx)^(n-1)-I_(n-2).

推出这个递推公式也是相当容易的。就是利用tan^2=sec^2-1. 从n个tanx中取出两个，写成tan^(n-2)*(sec^2-1)的形式，然后拆成两个不定积分的和，前者利用(secx)^2 dx=dtanx凑微分，得到的结果就是1/(n-1) *(tanx)^(n-1)，而后者就是I_(n-2).

然后再对I_(n-2)运用上面的递推公式，就得到关于I_(n-4)的公式形式，一直这样推导下去。到最后变成I3或I2时，有两种不同的结果，I3=1/3 *(tanx)^3-I1=1/3 *(tanx)^3+ln|cosx|+C；I2=1/2 *(tanx)^2-I0=1/2 *(tanx)^2-x+C.

可见，得到公式的最后一步，还要区分n的奇偶性。这里有一个概括求和公式的能力问题，其中最关键的是符号的变化，非常容易出错。

探究1：求In=∫(tanx)^ndx，n>2.

因为数学公式写起来非常复杂，所以以图片的形式显示探究的过程如上图。下面用这个公式来解一道比较简单的例题：

例1：求∫(tanx)^9dx.

在不熟练的情况下，可以先将公式抄下来，这里的n=9是奇数，m=4，将参数代入公式，其实就可以了。当然也可以展开求和公式，结果如下图：

这种结果检验一下，还是相当解压的，结果完全正确。下面再看余切的n次方的不定积分公式的探究。

探究2：求Jn=∫(cotx)^ndx，n>2.

虽然我们可以利用cotx=-tan(x+/)，把余切问题转化成正切问题来探究。并不需要重复探究1的推导过程，不过最后得到公式时，符号的确定还是很烧脑的。这一切还无法用语言给大家解释清楚，只能自己思考，为什么最后的符号性质是这样子的？

同样通过一道例题，来检验这个公式：

例2：求∫(cotx)^8dx.

这次n=8是偶数，m=4，还是直接将参数代入公式。为了检验结果，就把求和公式展开，结果如下：

同样的，老黄也已经检验结果正确了。最后是一道练习：

求∫((tanx)^6-(cotx)^7)dx.

这一看就知道是老黄对公式不放心，想多写几个例子或练习来检验公式的正确性。结果还真被老黄检验出一处错误来了。不过老黄已经修改过来了，能成文，自然是比较有把握没有出错的了。

尽管老黄已经非常仔细认真地检查过了，不过这种高数问题，仍有可能出现一些没有被发现的错误，欢迎大家找出其中的错误或者不合理的地方，并且指出来探讨一下。当然首先你得看懂才行啊。

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这种不定积分公式推导起来相当烧脑，不过也很锻炼脑力

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